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By Rudolf Berghammer

Das Lehrbuch führt in wichtige Themen der Ordnungs- und Verbandstheorie ein und behandelt bedeutende Informatikanwendungen. Die Ordnungs- und Verbandstheorie wird zur algebraischen Theorie der Relationen, kurz Relationenalgebra, ausgebaut. Des Weiteren widmet sich das Buch Informatikanwendungen, hauptsächlich der formalen Entwicklung von Algorithmen für diskrete Probleme. Beispiele aus der Ordnungs- und Verbandstheorie schlagen den Bogen zurück zum ersten Teil des Buches.

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5 Definition Ist ein Unterverband U eines Booleschen Verbands V auch abgeschlossen bez¨ uglich der Operation von V , so heißt er ein Boolescher Unterverband oder eine Boolesche Unteralgebra von V . ✷ Man beachte, daß die Elemente O und L eines Booleschen Verbands V in jedem Booleschen Unterverband U von V enthalten sind, da mit a ∈ U auch a ∈ U zutrifft und somit auch O = a a ∈ U und L = a a ∈ U. Im Fall von Booleschen Verb¨anden muß man also zwischen einem Unterverband im urspr¨ unglichem Sinne (der nicht auf das Komplement Bezug nimmt) und einem Booleschen Unterverband genau unterscheiden.

Ein Element u ∈ V heißt unterer Nachbar von a, falls gilt u a ∧∀b : u b a ⇒ (u = b ∨ a = b). 2. Ein Element o ∈ V heißt oberer Nachbar von a, falls gilt a o ∧ ∀b : a b o ⇒ (o = b ∨ a = b). Wenn es auf die Richtung der Ordnungsbeziehung nicht ankommt, so spricht man auch nur von Nachbarn. ✷ Ein unterer Nachbar bez¨ uglich ist also ein oberer Nachbar bez¨ uglich . In der Literatur st¨ utzen sich viele Untersuchungen auf beide Begriffe der Nachbarschaft. Beginnen wir mit der oberen Nachbarschaft eines kleinsten Elements in Verb¨anden.

An } als Hasse-Diagramm aufzeichnet. Es ist n¨amlich ⊥ das kleinste Element und alle anderen Elemente sind paarweise unvergleichbar. Zeichnerisch heißt dies, daß die einzigen Linien im Diagramm die zwischen ⊥ und den ai , 1 ≤ i ≤ n, sind. 1 Genaugenommen ist jede Menge geordnet, da die Gleichheitsrelation eine Ordnungsrelation ist. Statt von ungeordneten Mengen spricht man deshalb auch von trivial geordneten Mengen. Kapitel 2 Spezielle Klassen von Verb¨ anden In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Klassen von Verb¨anden vor, wie sie oft in der Mathematik und Informatik auftreten.

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