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By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

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Ndige Induktion nach n den Binomialsatz: (a wo (~) + bt = an + (: )an- 1 b + (:) an- 2 b2 + ... + bn, die ganze Zahl n(n-l) ... (n-k+l) l ' 2 ... k bedeutet. n! (n - k)! k! 46 Ringe und KOrper. 6. In einem Ring mit genau n Elementen ist fur jedes a n·a=O. [Vgl. ] 7. 1st a mit b vertauschbar, d. h. ist ab = ba, so ist a auch mit - b, mit nb und mit b-1 vertauschbar. 1st a mit b und e vertauschbar, so auch mit b + e und mit be. Korper. Ein Ring heiBt ein Schietk6rper, wenn a) er mindestens ein von Null verschiedenes Element enthalt, b) die Gleichungen ax=b, { (3) ya =b fUr a =f= 0 stets lOsbar sind.

Ebenso entsteht eine Homomorphie, wenn man jeder Permutation einer Permutationsgruppe die Zahl + 1 oder -1 zuordnet, je nachdem die Permutation gerade oder ungerade ist; die zugeordnete Gruppe ist die multiplikative Gruppe der Zahlen + 1 und --1. 1 Ein fester Spraehgebraueh fiir die W6rter Isomorphismus und Homomorphismus existiert nieht. SPEISER z. B. verwendet in der 1. Auflage seiner frtiher zitierten .. Theorie der Gruppen von endlieher Ordnung" die beiden W6rter gerade umgekehrt. hlte Bezeichnung sehlieBt sich mehr dem Dbliehen an.

Quotientenbildung. 49 § 16. Quotientenbildung. 1st ein kommutativer Ring min einen Schiefkorper Q eingebettet, so kann man in Q aus den Elementen von Quotienten m : = a b-1 = b-1 a (b =F 0) bilden 1. -= b d = be; ad+bc bd a c ac b'([=7)d' Zum Beweise iiberlege man sich, daB beide Seiten jedesmal nach Multiplikation mit b d dasselbe ergeben und daB aus b d x = b d Y folgt x = y. Man sieht also, daB die Quotienten alb einen kommutativen Korper P bilden, den man den QuotientenkOrper des kommutativen Ringes m nennt.

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